L'enjeu de la gestion des
stocks et apprivisionnement est important : mettre en place des
processus qui opimisent la fonction économique, sous
contrainte d'une disponibilité en théorie sans faille.
Tel sont les objectifs du gestionnaire de stocks. Cela suppose
de
disposer
d'une visibilité
sur ses stocks et de méthodologies appropriées aux
différentes situations.
Une production sans stock est quasi inconcevable vu les nombreuses
fonctions que remplissent les stocks. En effet, la constitution
de stocks est nécessaire
s'il y a :
- Non coïncidence dans le temps ou l'espace de la
production et de la consommation : le stock est
indispensable dans ce cas car il est impossible de
produire là et quand la demande se manifeste. Les exemples classiques sont
la fabrication de jouets ou la confiserie pour la non coïncidence
dans le
temps, et les supermarchés pour la non coïncidence
dans l'espace.
- Incertitude sur le niveau de demande ou sur le prix : s'il
y a incertitude sur la quantité demandé,
on va constituer un stock de sécurité qui permet
de faire face à une pointe de demande (en prenant soin
d'éviter l'effet "
coup de fouet"). S'il y a incertitude sur le
prix, on va constituer un stock de
spéculation.
Par exemple, les compagnies pétrolières
achètent plus que nécessaire en étrole
brut lorsque le prix de celui-ci est relativement
bas sur le marché.
- Risque de problèmes en chaîne : il s'agit
ici d'eviter qu'une panne à un poste ne
se répercute sur toute la chaîne d'approvisionnement. Un retard d'exécution
au poste précédent
ou une grève des transports n'arrêtera pas immédiatement
l'ensemble du processus de production
s'il y a des stocks
tampons.
- Présence de coûts de lancement : dans ce cas,
travailler par lots permet une économie
d'échelle sur les coûts
de lancement de production mais, en revanche,
provoque une augmentation des coûts de possession du stock.
Le contrôle du stock
et de l'approvisionnement d'une entreprise est donc aussi fondamental
dans la vie de celle-ci. Afin de réduire (ou optimiser
c'est selon...) un maximum les coûts divers qui tournent
autour du stockage, il faut faire encore une fois appel à des
connaissances en statistiques mathématiques comme nous
allons le voir de suite.
Remarque: L'application de type type d'outils ne s'adressent
pas vraiment aux P.M.E. de moins de 50 employés produisant
de petites pièces de manière irrégulière
mais plutôt à des
multinationales produisant en énorme quantité
ou en faible quantité des objets de consommation de taille
non négligeable et de manière régulière. Par ailleurs
comme auteur de ces pages je me suis renseigné dans de
nombreuses entreprises et je n'ai trouvé
encore aucun logisticien utilisant dans la pratique les modèles
mathématiques
qui vont être présentés ci-après.
Dans un premier temps, nous
allons établir comme déterminer le stock initial nécessaire
à une entreprise en sa basant sur des données statistiques
et ce à partir de modèles simples ensuite de quoi
nous ferons de même aves les modèles de réapprovisionnement
dont la démarche d'approche est un peu différente
et permet comme pour la première d'arriver à des résultats
très satisfaisants à grande échelle.
Les modèles que nous
allons construire permettront ainsi :
1. De réguler les
aléas des flux de fournitures
2. De permettre la production
par lots (réduit les coûts de production)
3. De faire face à
des demandes saisionnières
Des stocks supplémentaires
pouvant engrenger des "
coûts d'intérêt"
(capital immobilisé), des "
coûts
d'obsolence"
(les produits deviennent entre temps obsolètes), des "
coûts
de stockage", des "
coûts
d'assurances" (protection
contre les accidentes pouvant subenvire sur le produits) et de
nombreux
autres...
Nous distinguons dans le domaine classiquement trois types de
stocks:
1. Le "
stock minimum",
appelé encore "
stock
tampon" ou "
stock d'alarme" ou
"
point de commande" ou "
seuil
de réapprovisionnement", correspond à la
consommation de l'article durant le délai type
d'approvisionnement (laps de temps entre la commande et la livraison).
Par exemple, si le délai d'approvisionnement est de 5 jours
et que les consommations quotidiennes sont de 100 unités,
le stock minimum est de 500 unités.
2. Le "
stock de sécurité" qui permet de répondre aux aléas les
plus fréquents liés à la consommation et à la livraison.
3. Le "
stock d'alerte",
appelé encore "
stock
critique" qui est
le niveau de stock pour lequel on déclenche une commande
au risque de connaître une rupture. Par construction le stock
d'alerte est donc la somme du stock de sécurité et du stock minimum.
STOCKS EN AVENIR INCERTAIN
Commençons notre étude pas le cas le plus simple qui suppose que
la consommation est statistiquement régulière et sous contrôle.
Il s'ensuit (
cf. chapitres de Statistiques
et de Génie Industriel)
que la consommation périodique suit alors une loi de Gauss.
Prenons un exemple concret puisque la théorie a déjà été étudiée
en long et en large dans le chapitre de statistique.
Considérons un article dont la demande quotidienne suite
une loi normale de paramètres:
(64)
Le stock disponible au moment de la commande est de 500 unités
et le délai de réapprovisionnement de 5 jours. Nous
souhaiterions savoir quelle est la probabilité cumulée
d'être au-dessus ou égale à la rupture de stock
ainsi que la probabilité cumulée d'être au-dessus
de la consommation quotidienne supposée?
Nous avons pour le premier point la consommation moyenne sur 5
jours qui est en utilisant la propriété de stabilité de
la loi normale:
(65)
Nous avons alors:
(66)
soit en utilisant MS Excel:
=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=13.17%
Et pour la consommation quotidienne il vient simplement:
=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=30.85%
STOCK
INITIAL OPTIMAL
Imaginons de suite un scénario
afin de développer un modèle (inspirée de
l'ouvrage Gestion de la Production de V. Giard). Considérons
que l'entreprise MAC est le spécialiste d'un certain produit
dont le coût
direct de fabrication est de 25 unités numéraires
et le prix de vente 60. La vente quotidienne de ce produit est,
en semaine, de 2.5 en moyenne et le relevé des demandes
pendant trois mois laisse supposer que celle-ci suit une loi de
Poisson,
c'est-à-dire que nous avons une distribution de probabilités
suivante du nombre
X de ces produits au cours d'une journée (tronquée à
,
car la probabilité de ventes supérieurs à 10
sera supposée comme nulle).
Nous avons alors le tableau
suivant qui montre que la quantité la plus souvent vendue
à un agent économique est de 2 et le calcul de l'espérance
nous donne pour ce tableau
:
|
x
|
P(X)
|
| 0 |
0.0821 |
| 1 |
0.2052 |
| 2 |
0.2565 |
| 3 |
0.2138 |
| 4 |
0.1336 |
| 5 |
0.0668 |
| 6 |
0.0278 |
| 7 |
0.0099 |
| 8 |
0.0031 |
| 9 |
0.0009 |
| 10 |
0.0003 |
Tableau: 7
- Probabilités cumulées des ventes
Nous supposerons que le stock
est à flux tendu. En d'autres termes, d'un jour à
l'autre, aucune unité n'est reportée pour les ventes
du lendemain car il n'est plus censé y en avoir. La question
dès lors est de savoir, le tableau ci-dessus étant
donné, combien de produits mettre en fabrication (ou commander)
chaque jour pour maximiser le bénéfice et minimiser
les pertes.
Dès lors, dans l'optique
retenue de minimisation de coût de possession
associé aux invendus est de 25, tandis que le coût
de rupture
est égal au manque à gagner consécutif à
la vente ratée, c'est-à-dire la marge 60 soustrait
des 25 soit 35 unités numéraires.
Une gestion rationnelle doit
permettre de calculer le stock initial
S (autrement
dit le nombre de produits à commander ou à
fabriquer pour la journée) qui minimise l'indicateur de
coût
de gestion
C(
S)
défini comme étant la somme du coût de possession
associé au stock moyen des invendus
,
et du coût de rupture associé au stock moyen de
ventes ratées
:
(67)
Du point de vue mathématique
cela revient à chercher un extremum de la fonction de coût
de gestion tel que pour la valeur optimale
de l'approvisionnement initial le coût
est inférieur ou supérieur à
.
En d'autres termes (c'est trivial)
ou
(68)
A partir de maintenant la
question est de savoir comment procéder pour déterminer
.
Au fait l'idée est subtile mais simple tant qu'elle est bien
exposée et réfléchie.
Reprenons la distribution
de probabilités de la loi de demande quotidienne et supposons
que nous voulions calculer les ruptures moyennes (donc l'espérance)
et
associées
au stock initiaux respectifs par rapport à la distribution
donnée.
L'idée est d'alors
d'écrire la distribution de densité de probabilité
par rapport à la quantité manquante de stock et non
plus vendue :
|
x
|
P(X)
|
x-
4
|
(x-
4)P(X)
|
x-
5
|
(x-
5)P(X)
|
|
0
|
0.0821
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
1
|
0.2052
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
2
|
0.2565
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
3
|
0.2138
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
4
|
0.1336
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
5
|
0.0668
|
1
|
0.0668
|
-
|
-
|
|
6
|
0.0278
|
2
|
0.0556
|
1
|
0.0278
|
|
7
|
0.0099
|
3
|
0.0297
|
2
|
0.0198
|
|
8
|
0.0031
|
4
|
0.0124
|
3
|
0.0093
|
|
9
|
0.0009
|
5
|
0.0045
|
4
|
0.0036
|
|
10
|
0.0003
|
6
|
0.0018
|
5
|
0.0015
|
|
|
1
|
-
|
|
-
|
|
Tableau: 8
- Distribution de densité de probabilité par rapport à la
quantité manquante
Il ressort du tableaux précédent
que le fait de faire passer le stock initial
S de
4 à 5, diminue la rupture moyenne en la faisant passer
de 0.1708 à 0.0620. Mais de ce résultat nous ne
pouvons rien faire pour l'instant car à notre niveau actuel
du développement,
cela signifierait qu'en prenant un stock initial de 10, nous aurions
une rupture moyenne nulle (... ce qui n'avance pas à grande
chose...) et que si nous prenons aucun stock initial, nous aurions
une rupture de stock totale...
Mais cependant, nous pouvons
tirer un résultat intermédiaire intéressant.
Effectivement regardons la manière dont varie la différence
de la rupture moyenne (résultat facilement généralisable
- nous pouvons faire la démonstration sur demande au
besoin):
(69)
Autrement dit (soyez bien
attentif!!!), la diminution de rupture moyenne occasionnée
en augmentant d'une unité un stock préalablement dimensionné
à
,
est égale à la probabilité cumulée que
la demande soit strictement supérieure à celle du
stock initial
.
En d'autres termes, au cas
où cela ne serait pas clair, le fait d'augmenter le stock
initial diminue certes la rupture moyenne mais impose en contrepartie
que il y a moins d'acheteurs qui risquent de satisfaire l'offre
et les seuls qui le peuvent sont ceux qui correspondant à
la probabilité cumulée
.
Finalement, nous pouvons
écrire :
(70)
Le tableau ci-dessous représente
la diminution de rupture moyenne que nous obtenons en accroissant
d'une unité le stock (et respectivement la probabilité
de clients capables de consommer le stock...) :
|
x
|
P(X)
|
Ir (x)-Ir (x +
1)
|
|
0
|
0.0821
|
0.9179
|
|
1
|
0.2052
|
0.7127
|
|
2
|
0.2565
|
0.4562
|
|
3
|
0.2138
|
0.2424
|
|
4
|
0.1336
|
0.1088
|
|
5
|
0.0668
|
0.0420
|
|
6
|
0.0278
|
0.0142
|
|
7
|
0.0099
|
0.0043
|
|
8
|
0.0031
|
0.0012
|
|
9
|
0.0009
|
0.0003
|
|
10
|
0.0003
|
0
|
Tableau: 9
- Rupture moyenne en accroissant
d'une unité le stock
Maintenant regardons les
invendus
.
Leur espérance est bien évidemment donnée par
(servez-vous des tableaux au besoin pour comprendre) :
(71)
Ce que nous pouvons écrire
:
(72)
d'où :
(73)
qui est donc le stock moyen
possédé calculé sur la base du stock résiduel
de fin de période. C'est donc un résultat remarquable
qui va nous permettre de déterminer
seulement à partir de
.
Cette dernière relation
peut également s'écrire :
(74)
où le terme de gauche
représente la demande moyenne satisfaite et le terme de droite
l'offre moyenne utilisée. Cette relation est donc une relation
particulière d'équilibre entre une offre et une demande.
Nous pouvons par ailleurs
vérifier cela à partir des tables ci-dessous en mettant
un exemple particulier en évidence :
|
x
|
4 - x
|
(4 - x)P(X)
|
|
0
|
4
|
0.3284
|
|
1
|
3
|
0.6156
|
|
2
|
2
|
0.5130
|
|
3
|
1
|
0.2138
|
|
4
|
0
|
-
|
|
5
|
-
|
-
|
|
6
|
-
|
-
|
|
7
|
-
|
-
|
|
8
|
-
|
-
|
|
9
|
-
|
-
|
|
10
|
-
|
-
|
| |
|
 |
Tableau: 10
- Espérance des invendus
Finalement nous pouvons écrire
une expression de
,
fonction de la seule rupture moyenne :
(75)
ou :
(76)
Il s'ensuit que :
(77)
Ce qui donne avec les résultats
obtenus plus haut :
(78)
Dans ces conditions, les relations
:
(79)
Deviennent :
(80)
d'où :
(81)
d'où
est optimal si :
(82)
Dans notre exemple numérique,
nous avons :
(83)
avec :
(84)
d'où le stock optimal initial journalier appelé aussi "
stock
minimum":
(85)
ce qui n'est ni 2 ni 2.5 !!!
modèle
de wilson (réaprovisionnement)
Il
existe plusieurs modèles d'optimisation de gestion de stocks
(Statistique, Wilson, ABC, 20/80...). Parmi ceux-ci, nous avons
souhaité nous
arrêter sur le "
modèle
de Wilson" qui est
le plus connu (mais pas forcément le plus réaliste...).
Remarque: Ce modèle appelé également
"modèle du lot économique",
permet de déterminer la fréquence et la quantité
optimale de réapprovisionnement
pour un magasin, une usine... Elle est couramment
employée
par les services logistiques de grandes structures. Elle a en
fait été introduite
dès 1913...
Le
but est de déterminer la stratégie qu'il faut
adopter pour que le total périodique (annuel, mensuel, hebdomadaire,
journalier, ...) des commandes
ou fabrications de pièces minimise le total des coûts
d'acquisition et de possession de stocks pour l'entreprise. Nous
parlons
aussi des fois de "
gestion à flux
tendu".
L'existence
de stocks au sein de l'entreprise amène le gestionnaire à se poser
la question du niveau optimal de ces derniers, en évitant deux éceuils
principaux :
1.
Le "
sur-stockage", source
de coûts pour l'entreprise (coût
du stockage physique, manutention, locaux et surfaces utilisés,
coûts
annexes, assurances gardiennage, coût des capitaux immobilisés)
2.
Le "
sous-stockage" qui risque
d'aboutir à des ruptures
de stocks préjudiciables à l'activité de production ou à l'activité
commerciale de l'entreprise (arrêt de la production, perte de ventes,
perte de clientèle,...).
Ainsi, les différents
modèles de gestion des stocks ont pour objectif de minimiser
le coût de gestion dans ce système de contraintes en déterminant
la fréquence de réapprovisionnement et la quantité associée.
Voyons d'abord une approche purement qualitative. Pour chaque
référence, les quantités en stock évoluent
dans le temps par exemple sous une forme:
(86)
En simplifiant nous obtenons un graphique dit "en dents de scie":
(87)
Pour éviter la rupture de stock, il faut bien évidemment faire
en sorte que l'entrée d'une commande se fasse, au plus tard, lorsque
la quantité en stock devient nulle:
(88)
Si nous considérons une consommation
constante d'une quantité
N par unité de
temps (jour, mois, année,...) et que nous connaissons à l'avance
le délai d'approvisionnement
(en jour, mois, année...) alors si le tout est mis à des
unités
équivalentes (journalières par exemple) nous avons
le niveau critique qui est donné par:
(89)
qui est aussi assimilé à le terminologie
justifiée
de "point de commande" puisqu'il
s'agit de la quantité que
nous avons en stock à partir de laquelle il faut lancer
une nouvelle commande d'approvisionnement:
(90)
Ainsi, si la consommation est de 10 unités
par jour et que le délai d'approvisionnement est de
15 jours, le niveau critique est alors de 150 unités.
Pour éviter les aléas (grève, transports, variation
de consommation, remplacements,...) nous envisageons un stock
de sécurité
:
(91)
Nous avons alors pour le niveau critique:
(92)
Voyons maintenant l'influence du nombre de livraisons sur
le coût de stockage (puisque plus le taux de détention
est gros plus les coûts de stockage sont élevés). Supposons
pour cela que le marché
consomme 100 unités par mois et ce de manière
régulière.
Dans le cas d'un seul approvisionnement annuel, la consommation
est
représentée
par le graphique ci-dessous (aucun stock de sécurité afin
de simplifier l'exemple) :
(93)
où nous voyons immédiatement que le stock moyen est de 600.
Ce stock moyen est obtenu par simple moyenne arithmétique ou
simplement en utilisant la définition de la moyenne intégrale
de la fonction de consommation:
(94)
Et si nous divisons la gestion en deux approvisionnements
nous avons alors:
(95)
soit un stock moyen deux fois inférieur et dès lors un coût
de stockage moyen deux fois moindre. Mais bien évidemment il
faut y associer le coût d'approvisionnement. C'est à ce niveau
de complexité qu'intervient justement la formalisation mathématique
de Wilson.
Chaque
commande d'achat ou ordre de fabrication coûte donc à l'entreprise.
Le "
coût de lancement" ou "
coût
de passation" des
commandes ou lancements de fabrications représente tous
les frais liés
(administratifs, réglages machines, préparation,
communications,...) au fait de passer une commande (ou une fabrication)
et est supposé être
proportionnel à la quantité. Ces coûts sont déterminés à l'aide
de la comptabilité analytique.
Ainsi, le
coût d'une commande est obtenu en divisant
le coût
total de fonctionnement du service achat par une grandeur significative
et pertinente, par exemple le nombre de commandes passées
(ou ordres de fabrications) annuellement par exemple. Le
coût d'un lancement en fabrication lui sera obtenu en divisant
le coût
total de fonctionnement du service ordonnancement, auquel, il
faut,
ajouter les coûts de réglage des machines et des préséries,
par le nombre de lancements de fabrication.
Ces
valeurs dépendent essentiellement de l'entreprise, de ses choix
en matière de comptabilité analytique. Il est difficile de définir
une fourchette de valeur standard. Bon nombre d'entreprises ne
savent
pas à combien leur revient une commande ou un lancement de fabrication
(et bon nombre ne savant tout simplement pas faire une analyse...).
Le
coût de possession du stock est constitué des charges liées au stockage
physique mais également de la non rémunération des capitaux immobilisés
dans le stock (voire du coût des capitaux empruntés pour financer
le stock). Pour cette dernière raison, ce coût est considéré comme
étant proportionnel à la valeur du stock moyen et à la durée de
détention de ce stock.
Le
taux de possession annuel
t% est
le coût de possession ramené à une unité monétaire
de matériel stocké.
Il est obtenu en divisant le coût total des frais annuel de possession
par le stock moyen anneul.
Ces
frais couvrent l'intérêt du capital immobilisé, les
coûts de magasinage (loyer et entretien des locaux, assurances,
frais de personnel et de manutention, gardiennage..), les détériorations
du matériel, les risques d'obsolescence.
Ce
taux oscille habituellement entre 15 et 35% de la valeur marchande
stockées dans les entreprises, suivant le type des articles et
la qualité de
leur gestion des stocks.
Wilson
a établi une relation basée sur un modèle mathématique simplificateur
dans lequel nous considèrons que la demande est stable sans tenir
compte des évolutions de prix, des risques de rupture et des
variations dans le temps des coûts de commande et de lancement
(nous sommes alors en "avenir certain").
Les
hypothèses très simplificatirces de ce modèle sont les suivantes:
H1.
La demande périodique est connue et certaine
(déterministe)
H2.
Les quantités commandées sont constantes à chaque période
H3.
La pénurie, les ruptures de stock ont lieu en fin de période
H4.
Le délai de production est constant et l'approvisionnement
supposé
instantané
H5.
Les coûts (stocks, articles, passation,...) sont invariables dans
le temps
H7. Le coût de possession est proportionnel à la
valeur
H8.
L'horizon de planification est infini
Remarques:
R1. Nous supposerons que la gestion du stock
s'effectue sur une période temporelle donnée.
R2. D'après ces hypothèses nous concluons qu'il
y aura le même niveau de commande à lancer chaque
fois, que le coût total de pénurie est nul.
Nous noterons :
-
N la quantité correspondante à une
demande ou respectivement
à des pièces
consommées par période
- Q la
quantité d'approvisionements ou de pièces lancées
en fabrication en une seule fois pendant ce même temps (taille
des lots), toujours égal ou inférieur à
N
-
le
prix unitaire d'achat de la pièce (supposé constant)
-
le
stock de sécurité envisagé pour cette pièce
(supposé constant) pour répondre aux aléas
-
t le
taux de coût de possession en % (supposé constant)
et parfois appelé "taux de détention"
-
le
coût d'approvisionnement/acquisition par commande ou de lancement
de fabrication
Nous définissons de par la même
occasion, le "
coût unitaire de
stockage" calculé sur la base du prix untaire d'achat
d'une pièce:
(96)
Propositions:
P1.
Le rapport (sans dimensions):
(97)
donne "
l'inertie des stocks" ou
qui peut être vu de manière plus explicite comme étant
le "
nombre
périodique de lancements" (ou la cadence de
réapprovisionnement) pour
satisfaire la demande.
P2.
Le "
coût d'inertie" ou respectivement
le "
coût
d'acquisition", ou encore "
coût
de lancement" est
donc donné pour une période par
:
(98)
Ce
dernier est donc supposé proportionnel à la consommation!
Ce qui est important ceci dit est de remarquer que le coût
de lancement est inversement proportionnel à la quantité
Q et
donc qu'il tend vers zéro lorsque
Q tend vers l'infini.
Ceci dit, normalement on aura dans la majorité des cas théoriques:
(99)
P3.
Le stock moyen dans l'entreprise dans l'hypothèse d'une
consommation (décroissance linéaire
du stock) et d'un niveau de sécurité constants
dans le temps est trivialement pour une période:
(100)
Le
"
coût périodique de possession",
appelé encore"
coût
de possession" ou "
coût
de gestion" ou "
coût de
stockage" ou "
coût
de détention"...,
est alors :
(101)
Il s'agit donc de la fonction d'une droite (dont l'ordonnée à
l'origine est non-nulle si le stock de sécurité est
non nul) si nous considérons
que uniquement
Q y est variable. Il est important de remarquer
que ce coût est ne prend pas en compte les concepts de remise
de volume faite par les commercieux...
Ces
propositions nous amènent donc à l'équation du "
coût
total d'approvisionnement", appelé aussi "
coût
total de stockage" que nous allons chercher à minimiser:
(102)
et qui donne une "
courbe des coûts
cumulés" du
type :
(103)
Trouver
la quantité économique
,
c'est trouver la valeur de
Q pour laquelle le coût total est minimal, c'est-à-dire
la valeur
pour
laquelle la dérivée du coût total par rapport à la quantité est
nulle:
(104)
D'où la "
relation de Wilson"
(après un calcul élémentaire), appelée aussi
simplement "
formule de Wilson", pour le "
lot/quantité économique
optimal"
:
(105)
Bien évidemment une fois connue la quantité économique,
il devient facile de calculer le coût de gestion minimal
par période en injectal
dans
la relation obtenue plus haut:
(106)
ainsi que la cadence optimale de réaprovisionnement puisque
donnée par le rapport :
(107)
Si
nous reportons sur un graphique les fonctions:
-
coût de lancement en fonction des quantités
-
coût de possession en fonction des quantités
-
coûts totaux en fonctions des quantités
alors la
quantité économique se trouve à l'intersection des
deux courbes, lancement et possession, ou au point d'inflexion
de la courbe cumulée.
Dans la pratique toutefois, il est possible de commander exactement
la quantité économique, on choisira une taille de
lot répondant
aux diverses contraintes et comprise dans la "
zone économique"
:
(108)
Evidemment dans certaines entreprises un objectif est plutôt
d'essayer de diminuer le coût de stockage afin d'atteindre
l'équivalent de la demande comme quantité économique.
Nous avons alors avec un peu d'algèbre élémentaire:
(109)
soit au final le coût de stockage optimal si la quantité
d'approvisionnement
Q est imposée:
(110)
Il
existe un autre type de cas de figure qu'il faut étudier.
Si l'on commande en quantités plus importantes en bénéficiant
ainsi d'une remise, on augmente certes les coûts de possession
mais on réduit
théoriquement le nombre de commandes annuelles.
L'obectif
pour le gestionnaire est bien sûr
de vérifier mathématiquement que la remise consentie
par son fournisseur n'entraîne pas de coûts induits supérieurs à
la remise (ce serait une preuve d'incompétence du gestionnaire!).
Pour
ce faire, il faut ramener tous les coûts à une pièce tel
que le coût total unitaire s'écrive:
(111)
cette
relation est importante car elle détermine la valeur de la remise
pour que cette dernière soit intéressante.
Pour
connaître le seuil de remise
R
pour une quantité donné, on remplace dans la relation précédente,
Q
par la quantité visée
Q' et
par
,
R
étant la remise.
Nous
résolvons alors l'équation et nous obtenons:
(112)
Nous déterminerons donc la valeur limite de
R
sous laquelle la remise ne compense pas les coûts internes.
Dans
la pratique nous ne pouvons commander exactement la quantité optimale
,
notamment du fait des unités d'achats imposées par les fournisseurs
(quantités minimales, conditionnements, etc.). Il est donc plus
judicieux de s'intéresser à la "zone économique",
constituée
par la partie inférieure (le ventre) de la courbe des coûts totaux.
Du
fait des hypothèses simplificatrices, le modèle de Wilson ne peut
fournir au mieux qu'un ordre de grandeur si consommation et/ou prix
sont sujets à variations (puisqu'elle est extrêmement dépendante
des deux paramètres subjectifs : coûts de stockages
et lancement).
Le
recours aux lancements de fabrication économiques est "anti-flexible"
par essence. Ce genre de politique amène fréquemment des circonstances
importantes, risque de gonfler le stock de produits finis, reportant
les coûts et pertes en aval du processus.
Cependant,
le modèle de Wilson à ceci d'intéressant qu'il peut s'appliquer
également assez bien à des ressources humaines.
Exemple:
L'entreprise MAC utilise un article
X330 pour lequel la consommation prévisionnelle de l'année
N devrait être de 4'000 articles.
Les données sont les
suivantes :
- Le coût unitaire de l'article
X330 est de
(peu importe le numéraire)
- Le coût de passation/lancement d'une
commande est de
- Le taux de possession du stock est
de
Le fournisseur de cet article, pour
inciter ses clients à augmenter l'importance de leurs commandes
propose à l'entreprise les conditions suivantes :
C1. Quantités commandées
inférieures à 2'000 unités : prix unitaire
C2. Quantités commandées
comprises entre 2'000 et 3'500 unités : remise de 2%.
C3. Quantités commandées
supérieures à 3'500 unités : remise de 3 %.
Travail à faire : Dire quelle
solution l'entreprise doit adopter.
Le prix varie donc en fonction de la
quantité tel que étant donnée une quantité
choisie, la remise s'applique d'une façon équivalent
à tous les articles (nous parlons alors de "
remise
uniforme")..
D'après l'énoncé
et en fonction de
Q la quantité d'approvisionnement,
nous savons que :
1. Si
2. Si
3. Si
En fonction de la relation de Wilson
du lot économique, nous allons calculer la quantité économique
pour le prix le plus avantageux à savoir
:
(113)
Mais pour avoir droit avoir
droit à
il faut commander au minimum 3'500 articles il y a donc contradiction
et cette solution est donc hors zone. Des calculs identiques (que
nous laissons le soin de faire avec la calculatrice quand même...)
montrent que seulement le lot économique
de
correspond à la contrainte
.
