Gestion de stocks

L'enjeu de la gestion des stocks et apprivisionnement est important : mettre en place des processus qui opimisent la fonction économique, sous contrainte d'une disponibilité en théorie sans faille. Tel sont les objectifs du gestionnaire de stocks. Cela suppose de disposer d'une visibilité sur ses stocks et de méthodologies appropriées aux différentes situations.
Une production sans stock est quasi inconcevable vu les nombreuses fonctions que remplissent les stocks. En effet, la constitution de stocks est nécessaire s'il y a :
- Non coïncidence dans le temps ou l'espace de la production et de la consommation : le stock est indispensable dans ce cas car il est impossible de produire là et quand la demande se manifeste. Les exemples classiques sont la fabrication de jouets ou la confiserie pour la non coïncidence dans le
temps, et les supermarchés pour la non coïncidence dans l'espace.
- Incertitude sur le niveau de demande ou sur le prix : s'il y a incertitude sur la quantité demandé, on va constituer un stock de sécurité qui permet de faire face à une pointe de demande (en prenant soin d'éviter l'effet "coup de fouet"). S'il y a incertitude sur le prix, on va constituer un stock de spéculation. Par exemple, les compagnies pétrolières achètent plus que nécessaire en étrole brut lorsque le prix de celui-ci est relativement bas sur le marché.
- Risque de problèmes en chaîne : il s'agit ici d'eviter qu'une panne à un poste ne se répercute sur toute la chaîne d'approvisionnement. Un retard d'exécution au poste précédent ou une grève des transports n'arrêtera pas immédiatement l'ensemble du processus de production s'il y a des stocks
tampons.
- Présence de coûts de lancement : dans ce cas, travailler par lots permet une économie d'échelle sur les coûts de lancement de production mais, en revanche, provoque une augmentation des coûts de possession du stock.
Le contrôle du stock et de l'approvisionnement d'une entreprise est donc aussi fondamental dans la vie de celle-ci. Afin de réduire (ou optimiser c'est selon...) un maximum les coûts divers qui tournent autour du stockage, il faut faire encore une fois appel à des connaissances en statistiques mathématiques comme nous allons le voir de suite.

Remarque: L'application de type type d'outils ne s'adressent pas vraiment aux P.M.E. de moins de 50 employés produisant de petites pièces de manière irrégulière mais plutôt à des multinationales produisant en énorme quantité ou en faible quantité des objets de consommation de taille non négligeable et de manière régulière. Par ailleurs comme auteur de ces pages je me suis renseigné dans de nombreuses entreprises et je n'ai trouvé encore aucun logisticien utilisant dans la pratique les modèles mathématiques qui vont être présentés ci-après.

Dans un premier temps, nous allons établir comme déterminer le stock initial nécessaire à une entreprise en sa basant sur des données statistiques et ce à partir de modèles simples ensuite de quoi nous ferons de même aves les modèles de réapprovisionnement dont la démarche d'approche est un peu différente et permet comme pour la première d'arriver à des résultats très satisfaisants à grande échelle.
Les modèles que nous allons construire permettront ainsi :
1. De réguler les aléas des flux de fournitures
2. De permettre la production par lots (réduit les coûts de production)
3. De faire face à des demandes saisionnières
Des stocks supplémentaires pouvant engrenger des "coûts d'intérêt" (capital immobilisé), des "coûts d'obsolence" (les produits deviennent entre temps obsolètes), des "coûts de stockage", des "coûts d'assurances" (protection contre les accidentes pouvant subenvire sur le produits) et de nombreux autres...
Nous distinguons dans le domaine classiquement trois types de stocks:
1. Le "stock minimum", appelé encore "stock tampon" ou "stock d'alarme" ou "point de commande" ou "seuil de réapprovisionnement", correspond à la consommation de l'article durant le délai type d'approvisionnement (laps de temps entre la commande et la livraison). Par exemple, si le délai d'approvisionnement est de 5 jours et que les consommations quotidiennes sont de 100 unités, le stock minimum est de 500 unités.
2. Le "stock de sécurité" qui permet de répondre aux aléas les plus fréquents liés à la consommation et à la livraison.
3. Le "stock d'alerte", appelé encore "stock critique" qui est le niveau de stock pour lequel on déclenche une commande au risque de connaître une rupture. Par construction le stock d'alerte est donc la somme du stock de sécurité et du stock minimum.

STOCKS EN AVENIR INCERTAIN

Commençons notre étude pas le cas le plus simple qui suppose que la consommation est statistiquement régulière et sous contrôle. Il s'ensuit (cf. chapitres de Statistiques et de Génie Industriel) que la consommation périodique suit alors une loi de Gauss.
Prenons un exemple concret puisque la théorie a déjà été étudiée en long et en large dans le chapitre de statistique.
Considérons un article dont la demande quotidienne suite une loi normale de paramètres:

  (64)

Le stock disponible au moment de la commande est de 500 unités et le délai de réapprovisionnement de 5 jours. Nous souhaiterions savoir quelle est la probabilité cumulée d'être au-dessus ou égale à la rupture de stock ainsi que la probabilité cumulée d'être au-dessus de la consommation quotidienne supposée?
Nous avons pour le premier point la consommation moyenne sur 5 jours qui est en utilisant la propriété de stabilité de la loi normale:

  (65)

Nous avons alors:

  (66)

soit en utilisant MS Excel:

=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=13.17%

Et pour la consommation quotidienne il vient simplement:

=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=30.85%

STOCK INITIAL OPTIMAL

Imaginons de suite un scénario afin de développer un modèle (inspirée de l'ouvrage Gestion de la Production de V. Giard). Considérons que l'entreprise MAC est le spécialiste d'un certain produit dont le coût direct de fabrication est de 25 unités numéraires et le prix de vente 60. La vente quotidienne de ce produit est, en semaine, de 2.5 en moyenne et le relevé des demandes pendant trois mois laisse supposer que celle-ci suit une loi de Poisson, c'est-à-dire que nous avons une distribution de probabilités suivante du nombre X de ces produits au cours d'une journée (tronquée à , car la probabilité de ventes supérieurs à 10 sera supposée comme nulle).
Nous avons alors le tableau suivant qui montre que la quantité la plus souvent vendue à un agent économique est de 2 et le calcul de l'espérance nous donne pour ce tableau :

x	P(X)
0	0.0821
1	0.2052
2	0.2565
3	0.2138
4	0.1336
5	0.0668
6	0.0278
7	0.0099
8	0.0031
9	0.0009
10	0.0003

Tableau: 7  - Probabilités cumulées des ventes Nous supposerons que le stock est à flux tendu. En d'autres termes, d'un jour à l'autre, aucune unité n'est reportée pour les ventes du lendemain car il n'est plus censé y en avoir. La question dès lors est de savoir, le tableau ci-dessus étant donné, combien de produits mettre en fabrication (ou commander) chaque jour pour maximiser le bénéfice et minimiser les pertes.
Dès lors, dans l'optique retenue de minimisation de coût de possession associé aux invendus est de 25, tandis que le coût de rupture est égal au manque à gagner consécutif à la vente ratée, c'est-à-dire la marge 60 soustrait des 25 soit 35 unités numéraires.
Une gestion rationnelle doit permettre de calculer le stock initial S (autrement dit le nombre de produits à commander ou à fabriquer pour la journée) qui minimise l'indicateur de coût de gestion C(S) défini comme étant la somme du coût de possession associé au stock moyen des invendus , et du coût de rupture associé au stock moyen de ventes ratées :

  (67)

Du point de vue mathématique cela revient à chercher un extremum de la fonction de coût de gestion tel que pour la valeur optimale de l'approvisionnement initial le coût est inférieur ou supérieur à . En d'autres termes (c'est trivial)

ou   (68)

A partir de maintenant la question est de savoir comment procéder pour déterminer . Au fait l'idée est subtile mais simple tant qu'elle est bien exposée et réfléchie.
Reprenons la distribution de probabilités de la loi de demande quotidienne et supposons que nous voulions calculer les ruptures moyennes (donc l'espérance) et associées au stock initiaux respectifs par rapport à la distribution donnée.
L'idée est d'alors d'écrire la distribution de densité de probabilité par rapport à la quantité manquante de stock et non plus vendue :

x	P(X)	x- 4	(x- 4)P(X)	x- 5	(x- 5)P(X)
0	0.0821	-	-	-	-
1	0.2052	-	-	-	-
2	0.2565	-	-	-	-
3	0.2138	-	-	-	-
4	0.1336	-	-	-	-
5	0.0668	1	0.0668	-	-
6	0.0278	2	0.0556	1	0.0278
7	0.0099	3	0.0297	2	0.0198
8	0.0031	4	0.0124	3	0.0093
9	0.0009	5	0.0045	4	0.0036
10	0.0003	6	0.0018	5	0.0015
	1	-		-

Tableau: 8  - Distribution de densité de probabilité par rapport à la quantité manquante Il ressort du tableaux précédent que le fait de faire passer le stock initial S de 4 à 5, diminue la rupture moyenne en la faisant passer de 0.1708 à 0.0620. Mais de ce résultat nous ne pouvons rien faire pour l'instant car à notre niveau actuel du développement, cela signifierait qu'en prenant un stock initial de 10, nous aurions une rupture moyenne nulle (... ce qui n'avance pas à grande chose...) et que si nous prenons aucun stock initial, nous aurions une rupture de stock totale...
Mais cependant, nous pouvons tirer un résultat intermédiaire intéressant. Effectivement regardons la manière dont varie la différence de la rupture moyenne (résultat facilement généralisable - nous pouvons faire la démonstration sur demande au besoin):

  (69)

Autrement dit (soyez bien attentif!!!), la diminution de rupture moyenne occasionnée en augmentant d'une unité un stock préalablement dimensionné à , est égale à la probabilité cumulée que la demande soit strictement supérieure à celle du stock initial .
En d'autres termes, au cas où cela ne serait pas clair, le fait d'augmenter le stock initial diminue certes la rupture moyenne mais impose en contrepartie que il y a moins d'acheteurs qui risquent de satisfaire l'offre et les seuls qui le peuvent sont ceux qui correspondant à la probabilité cumulée .
Finalement, nous pouvons écrire :

  (70)

Le tableau ci-dessous représente la diminution de rupture moyenne que nous obtenons en accroissant d'une unité le stock (et respectivement la probabilité de clients capables de consommer le stock...) :

x	P(X)	Ir (x)-Ir (x + 1)
0	0.0821	0.9179
1	0.2052	0.7127
2	0.2565	0.4562
3	0.2138	0.2424
4	0.1336	0.1088
5	0.0668	0.0420
6	0.0278	0.0142
7	0.0099	0.0043
8	0.0031	0.0012
9	0.0009	0.0003
10	0.0003	0

Tableau: 9  - Rupture moyenne en accroissant d'une unité le stock Maintenant regardons les invendus . Leur espérance est bien évidemment donnée par (servez-vous des tableaux au besoin pour comprendre) :

  (71)

Ce que nous pouvons écrire :

  (72)

d'où :

  (73)

qui est donc le stock moyen possédé calculé sur la base du stock résiduel de fin de période. C'est donc un résultat remarquable qui va nous permettre de déterminer seulement à partir de .
Cette dernière relation peut également s'écrire :

  (74)

où le terme de gauche représente la demande moyenne satisfaite et le terme de droite l'offre moyenne utilisée. Cette relation est donc une relation particulière d'équilibre entre une offre et une demande.
Nous pouvons par ailleurs vérifier cela à partir des tables ci-dessous en mettant un exemple particulier en évidence :

x	4 - x	(4 - x)P(X)
0	4	0.3284
1	3	0.6156
2	2	0.5130
3	1	0.2138
4	0	-
5	-	-
6	-	-
7	-	-
8	-	-
9	-	-
10	-	-

Tableau: 10  - Espérance des invendus Finalement nous pouvons écrire une expression de , fonction de la seule rupture moyenne :

  (75)

ou :

  (76)

Il s'ensuit que :

  (77)

Ce qui donne avec les résultats obtenus plus haut :

  (78)

Dans ces conditions, les relations :

  (79)

Deviennent :

  (80)

d'où :

  (81)

d'où est optimal si :

  (82)

Dans notre exemple numérique, nous avons :

  (83)

avec :

  (84)

d'où le stock optimal initial journalier appelé aussi "stock minimum":

  (85)

ce qui n'est ni 2 ni 2.5 !!!

modèle de wilson (réaprovisionnement)

Il existe plusieurs modèles d'optimisation de gestion de stocks (Statistique, Wilson, ABC, 20/80...). Parmi ceux-ci, nous avons souhaité nous arrêter sur le "modèle de Wilson" qui est le plus connu (mais pas forcément le plus réaliste...).

Remarque: Ce modèle appelé également "modèle du lot économique", permet de déterminer la fréquence et la quantité optimale de réapprovisionnement pour un magasin, une usine... Elle est couramment employée par les services logistiques de grandes structures. Elle a en fait été introduite dès 1913...

Le but est de déterminer la stratégie qu'il faut adopter pour que le total périodique (annuel, mensuel, hebdomadaire, journalier, ...) des commandes ou fabrications de pièces minimise le total des coûts d'acquisition et de possession de stocks pour l'entreprise. Nous parlons aussi des fois de "gestion à flux tendu".
L'existence de stocks au sein de l'entreprise amène le gestionnaire à se poser la question du niveau optimal de ces derniers, en évitant deux éceuils principaux :
1. Le "sur-stockage", source de coûts pour l'entreprise (coût du stockage physique, manutention, locaux et surfaces utilisés, coûts annexes, assurances gardiennage, coût des capitaux immobilisés)
2. Le "sous-stockage" qui risque d'aboutir à des ruptures de stocks préjudiciables à l'activité de production ou à l'activité commerciale de l'entreprise (arrêt de la production, perte de ventes, perte de clientèle,...).
Ainsi, les différents modèles de gestion des stocks ont pour objectif de minimiser le coût de gestion dans ce système de contraintes en déterminant la fréquence de réapprovisionnement et la quantité associée.
Voyons d'abord une approche purement qualitative. Pour chaque référence, les quantités en stock évoluent dans le temps par exemple sous une forme:

  (86)

En simplifiant nous obtenons un graphique dit "en dents de scie":

  (87)

Pour éviter la rupture de stock, il faut bien évidemment faire en sorte que l'entrée d'une commande se fasse, au plus tard, lorsque la quantité en stock devient nulle:

  (88)

Si nous considérons une consommation constante d'une quantité N par unité de temps (jour, mois, année,...) et que nous connaissons à l'avance le délai d'approvisionnement (en jour, mois, année...) alors si le tout est mis à des unités équivalentes (journalières par exemple) nous avons le niveau critique qui est donné par:

  (89)

qui est aussi assimilé à le terminologie justifiée de "point de commande" puisqu'il s'agit de la quantité que nous avons en stock à partir de laquelle il faut lancer une nouvelle commande d'approvisionnement:

  (90)

Ainsi, si la consommation est de 10 unités par jour et que le délai d'approvisionnement est de 15 jours, le niveau critique est alors de 150 unités.

Pour éviter les aléas (grève, transports, variation de consommation, remplacements,...) nous envisageons un stock de sécurité :

  (91)

Nous avons alors pour le niveau critique:

  (92)

Voyons maintenant l'influence du nombre de livraisons sur le coût de stockage (puisque plus le taux de détention est gros plus les coûts de stockage sont élevés). Supposons pour cela que le marché consomme 100 unités par mois et ce de manière régulière. Dans le cas d'un seul approvisionnement annuel, la consommation est représentée par le graphique ci-dessous (aucun stock de sécurité afin de simplifier l'exemple) :

  (93)

où nous voyons immédiatement que le stock moyen est de 600. Ce stock moyen est obtenu par simple moyenne arithmétique ou simplement en utilisant la définition de la moyenne intégrale de la fonction de consommation:

  (94)

Et si nous divisons la gestion en deux approvisionnements nous avons alors:

  (95)

soit un stock moyen deux fois inférieur et dès lors un coût de stockage moyen deux fois moindre. Mais bien évidemment il faut y associer le coût d'approvisionnement. C'est à ce niveau de complexité qu'intervient justement la formalisation mathématique de Wilson.
Chaque commande d'achat ou ordre de fabrication coûte donc à l'entreprise. Le "coût de lancement" ou "coût de passation" des commandes ou lancements de fabrications représente tous les frais liés (administratifs, réglages machines, préparation, communications,...) au fait de passer une commande (ou une fabrication) et est supposé être proportionnel à la quantité. Ces coûts sont déterminés à l'aide de la comptabilité analytique.
Ainsi, le coût d'une commande est obtenu en divisant le coût total de fonctionnement du service achat par une grandeur significative et pertinente, par exemple le nombre de commandes passées (ou ordres de fabrications) annuellement par exemple. Le coût d'un lancement en fabrication lui sera obtenu en divisant le coût total de fonctionnement du service ordonnancement, auquel, il faut, ajouter les coûts de réglage des machines et des préséries, par le nombre de lancements de fabrication.
Ces valeurs dépendent essentiellement de l'entreprise, de ses choix en matière de comptabilité analytique. Il est difficile de définir une fourchette de valeur standard. Bon nombre d'entreprises ne savent pas à combien leur revient une commande ou un lancement de fabrication (et bon nombre ne savant tout simplement pas faire une analyse...).
Le coût de possession du stock est constitué des charges liées au stockage physique mais également de la non rémunération des capitaux immobilisés dans le stock (voire du coût des capitaux empruntés pour financer le stock). Pour cette dernière raison, ce coût est considéré comme étant proportionnel à la valeur du stock moyen et à la durée de détention de ce stock.
Le taux de possession annuel t% est le coût de possession ramené à une unité monétaire de matériel stocké. Il est obtenu en divisant le coût total des frais annuel de possession par le stock moyen anneul.
Ces frais couvrent l'intérêt du capital immobilisé, les coûts de magasinage (loyer et entretien des locaux, assurances, frais de personnel et de manutention, gardiennage..), les détériorations du matériel, les risques d'obsolescence.
Ce taux oscille habituellement entre 15 et 35% de la valeur marchande stockées dans les entreprises, suivant le type des articles et la qualité de leur gestion des stocks.
Wilson a établi une relation basée sur un modèle mathématique simplificateur dans lequel nous considèrons que la demande est stable sans tenir compte des évolutions de prix, des risques de rupture et des variations dans le temps des coûts de commande et de lancement (nous sommes alors en "avenir certain").
Les hypothèses très simplificatirces de ce modèle sont les suivantes:
H1. La demande périodique est connue et certaine (déterministe)
H2. Les quantités commandées sont constantes à chaque période
H3. La pénurie, les ruptures de stock ont lieu en fin de période
H4. Le délai de production est constant et l'approvisionnement supposé instantané
H5. Les coûts (stocks, articles, passation,...) sont invariables dans le temps
H7. Le coût de possession est proportionnel à la valeur
H8. L'horizon de planification est infini

Remarques:
R1. Nous supposerons que la gestion du stock s'effectue sur une période temporelle donnée.
R2. D'après ces hypothèses nous concluons qu'il y aura le même niveau de commande à lancer chaque fois, que le coût total de pénurie est nul.

Nous noterons :
- N la quantité correspondante à une demande ou respectivement à des pièces consommées par période
- Q la quantité d'approvisionements ou de pièces lancées en fabrication en une seule fois pendant ce même temps (taille des lots), toujours égal ou inférieur à N
-  le prix unitaire d'achat de la pièce (supposé constant)
-  le stock de sécurité envisagé pour cette pièce (supposé constant) pour répondre aux aléas
- t le taux de coût de possession en % (supposé constant) et parfois appelé "taux de détention"
-  le coût d'approvisionnement/acquisition par commande ou de lancement de fabrication
Nous définissons de par la même occasion, le "coût unitaire de stockage" calculé sur la base du prix untaire d'achat d'une pièce:

  (96)

Propositions:
P1. Le rapport (sans dimensions):

  (97)

donne "l'inertie des stocks" ou qui peut être vu de manière plus explicite comme étant le "nombre périodique de lancements" (ou la cadence de réapprovisionnement) pour satisfaire la demande.
P2. Le "coût d'inertie" ou respectivement le "coût d'acquisition", ou encore "coût de lancement" est donc donné pour une période par :

  (98)

Ce dernier est donc supposé proportionnel à la consommation! Ce qui est important ceci dit est de remarquer que le coût de lancement est inversement proportionnel à la quantité Q et donc qu'il tend vers zéro lorsque Q tend vers l'infini. Ceci dit, normalement on aura dans la majorité des cas théoriques:

  (99)

P3. Le stock moyen dans l'entreprise dans l'hypothèse d'une consommation (décroissance linéaire du stock) et d'un niveau de sécurité constants dans le temps est trivialement pour une période:

  (100)

Le "coût périodique de possession", appelé encore"coût de possession" ou "coût de gestion" ou "coût de stockage" ou "coût de détention"..., est alors :

  (101)

Il s'agit donc de la fonction d'une droite (dont l'ordonnée à l'origine est non-nulle si le stock de sécurité est non nul) si nous considérons que uniquement Q y est variable. Il est important de remarquer que ce coût est ne prend pas en compte les concepts de remise de volume faite par les commercieux...
Ces propositions nous amènent donc à l'équation du "coût total d'approvisionnement", appelé aussi "coût total de stockage" que nous allons chercher à minimiser:

  (102)

et qui donne une "courbe des coûts cumulés" du type :

  (103)

Trouver la quantité économique , c'est trouver la valeur de Q pour laquelle le coût total est minimal, c'est-à-dire la valeur  pour laquelle la dérivée du coût total par rapport à la quantité est nulle:

  (104)

D'où la "relation de Wilson" (après un calcul élémentaire), appelée aussi simplement "formule de Wilson", pour le "lot/quantité économique optimal" :

  (105)

Bien évidemment une fois connue la quantité économique, il devient facile de calculer le coût de gestion minimal par période en injectal dans la relation obtenue plus haut:

  (106)

ainsi que la cadence optimale de réaprovisionnement puisque donnée par le rapport :

  (107)

Si nous reportons sur un graphique les fonctions:
- coût de lancement en fonction des quantités
- coût de possession en fonction des quantités
- coûts totaux en fonctions des quantités
alors la quantité économique se trouve à l'intersection des deux courbes, lancement et possession, ou au point d'inflexion de la courbe cumulée. Dans la pratique toutefois, il est possible de commander exactement la quantité économique, on choisira une taille de lot répondant aux diverses contraintes et comprise dans la "zone économique" :

  (108)

Evidemment dans certaines entreprises un objectif est plutôt d'essayer de diminuer le coût de stockage afin d'atteindre l'équivalent de la demande comme quantité économique. Nous avons alors avec un peu d'algèbre élémentaire:

  (109)

soit au final le coût de stockage optimal si la quantité d'approvisionnement Q est imposée:

  (110)

Il existe un autre type de cas de figure qu'il faut étudier. Si l'on commande en quantités plus importantes en bénéficiant ainsi d'une remise, on augmente certes les coûts de possession mais on réduit théoriquement le nombre de commandes annuelles.
L'obectif pour le gestionnaire est bien sûr de vérifier mathématiquement que la remise consentie par son fournisseur n'entraîne pas de coûts induits supérieurs à la remise (ce serait une preuve d'incompétence du gestionnaire!).
Pour ce faire, il faut ramener tous les coûts à une pièce tel que le coût total unitaire s'écrive:

  (111)

cette relation est importante car elle détermine la valeur de la remise pour que cette dernière soit intéressante.
Pour connaître le seuil de remise R pour une quantité donné, on remplace dans la relation précédente, Q par la quantité visée Q' et  par , R étant la remise.
Nous résolvons alors l'équation et nous obtenons:

  (112)

Nous déterminerons donc la valeur limite de R sous laquelle la remise ne compense pas les coûts internes.
Dans la pratique nous ne pouvons commander exactement la quantité optimale , notamment du fait des unités d'achats imposées par les fournisseurs (quantités minimales, conditionnements, etc.). Il est donc plus judicieux de s'intéresser à la "zone économique", constituée par la partie inférieure (le ventre) de la courbe des coûts totaux.
Du fait des hypothèses simplificatrices, le modèle de Wilson ne peut fournir au mieux qu'un ordre de grandeur si consommation et/ou prix sont sujets à variations (puisqu'elle est extrêmement dépendante des deux paramètres subjectifs : coûts de stockages et lancement).
Le recours aux lancements de fabrication économiques est "anti-flexible" par essence. Ce genre de politique amène fréquemment des circonstances importantes, risque de gonfler le stock de produits finis, reportant les coûts et pertes en aval du processus.
Cependant, le modèle de Wilson à ceci d'intéressant qu'il peut s'appliquer également assez bien à des ressources humaines.
Exemple:
L'entreprise MAC utilise un article X330 pour lequel la consommation prévisionnelle de l'année N devrait être de 4'000 articles. Les données sont les suivantes :
- Le coût unitaire de l'article X330 est de (peu importe le numéraire)
- Le coût de passation/lancement d'une commande est de
- Le taux de possession du stock est de
Le fournisseur de cet article, pour inciter ses clients à augmenter l'importance de leurs commandes propose à l'entreprise les conditions suivantes :
C1. Quantités commandées inférieures à 2'000 unités : prix unitaire
C2. Quantités commandées comprises entre 2'000 et 3'500 unités : remise de 2%.
C3. Quantités commandées supérieures à 3'500 unités : remise de 3 %.
Travail à faire : Dire quelle solution l'entreprise doit adopter.
Le prix varie donc en fonction de la quantité tel que étant donnée une quantité choisie, la remise s'applique d'une façon équivalent à tous les articles (nous parlons alors de "remise uniforme")..
D'après l'énoncé et en fonction de Q la quantité d'approvisionnement, nous savons que :
1. Si
2. Si
3. Si
En fonction de la relation de Wilson du lot économique, nous allons calculer la quantité économique pour le prix le plus avantageux à savoir  :

  (113)

Mais pour avoir droit avoir droit à il faut commander au minimum 3'500 articles il y a donc contradiction et cette solution est donc hors zone. Des calculs identiques (que nous laissons le soin de faire avec la calculatrice quand même...) montrent que seulement le lot économique de correspond à la contrainte .